Sinh ra tại Amsterdam, Bergkamp là người con trai út trong bốn đứa con của Wim và Tonnie Bergkamp.[5] Anh lớn lên ở một vùng ngoại ô có tầng lớp lao động sinh sống, còn gia đình ông có tham vọng để tiến tới xã hội trung lưu. Cha anh, một thợ điện và một cầu thủ bóng đá nghiệp dư ở một giải đấu thấp, đã điền tên anh vào một đội bóng phong trào của tiền đạo người Scotland Dennis Law.[6] Để tuân thủ đúng việc đặt tên theo truyền thống của người Hà Lan, anh đã viết thêm một chữ "n" vào họ Bergkamp của mình sau khi cái tên gốc không được nhà tuyển trạch chấp nhận.[7] Bergkamp được nuôi dạy giống như một tín đồ giáo và anh thường xuyên được đến nhà thờ khi còn nhỏ.[8] Mặc dù trong những năm sau đó Bergkamp cho biết rằng việc đến nhà thờ không còn quá quan trọng đối với anh, nhưng anh vẫn luôn duy trì đức tin của mình.[8]